ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65296
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Условная вероятность ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Четность и нечетность ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.
  а) Кнопка со знаком умножения сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен – чётное число или нечётное?
  б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения починили.


Решение

  а) Обозначим через A событие "результат нечётный".
  Пусть с вероятностью p предпоследнее число нечётно. Тогда результат останется нечётным, только если прибавить чётное число. Значит, условная вероятность нечётного результата равна  p·½.
  Предпоследнее число было чётным с вероятностью 1 – p.  Результат будет нечётным, только если последнее слагаемое нечётно. Значит, в этом случае условная вероятность события A равна  (1 – p)·½.
  Складывая вероятности этих несовместных событий, получим:   P(A) = ½

  б) Будем говорить, что Учёный проделал n шагов, если он набрал n чисел, а между ними  n – 1  раз совершил какие-то арифметические действия. Обозначим через pn вероятность того, что после n шагов на калькуляторе будет нечётное число. Тогда  pn+1 = ¼ + ¼ pn  (см. задачу 65336). Отсюда видно, что если  pn ≤ ½,  то  pn+1 < ½.  Поскольку, очевидно,  p1 = ½,  то  pn < ½  при  n > 1.


Ответ

а) Равновероятен;   б) вероятность чётного числа больше.

Замечания

Как показано в задаче 65336, при большом количестве действий вероятность pn близка к ⅓.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2010
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .