ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65311
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Условная вероятность ]
[ Средние величины ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010.
Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.


Решение

  Первый способ. Пусть событие An "сумма очков равна n , а Xn – число сделанных при этом бросков. Событие An мы считаем уже осуществившимся, и нас интересует ожидание EXn. Пусть Ik равно 1, если первый бросок дал k очков, и 0 в противном случае.
  События Bk "первый бросок дал k очков" и An–k (для оставшихся бросков) относятся к разным броскам и поэтому независимы. Следовательно, условная вероятность события  (Ik = 1)  равна  
  Ясно, что  Xn = Xn–1I1 + Xn–2I2 + ... + Xn–6I6 + 1.
  При этом случайные величины Xn–k и Ik независимы, поскольку относятся к разным сериям бросков. Поэтому  
  Вводя обозначения  EXk = ek  и  P(Ak) = pk,  получаем:     (1)
  Осталось воспользоваться тем, что  6pn = pn–1 + ... + pn–6.  Это следует, например, из того, что сумма вероятностей  P(Ik = 1)  равна единице. Значит,  
  Начальные значения:  p–5 = p4 = ... = p–1 = 0;  p0 = 1;  e–5 = e4 = ... = e0 = 0.  Последовательное вычисление дает  e1 = 1,  p1 = 1/6;
    ...,
e2010 = 574,5238095...

  Второй способ. Известно, что сумма очков сравнялась с n. Пусть наступило событие Ak "в какой-то момент сумма равна k". Тогда последующие броски должны привести к событию An–k. Значит,     (cобытия An–k и Ak относятся к разным сериям бросков и поэтому независимы).
  Рассмотрим величину Jk, которая равна 1, если сумма в какой-то момент равна k, и 0 в противном случае.
  Очевидно, случайная величина "число полученных сумм"  Xn = J1 + J2 + ... + Jn  равна числу сделанных бросков.
  Введём краткие обозначения  EXk = ek,  P(Ak) = pk.  Математическое ожидание EJk равно     следовательно,  
  Пользуясь соотношением  pn–k = 1/6 (pn–k–1 + ... + pn–k–6),  запишем ожидание иначе:


Ответ

574,5238095...

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2010
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .