|
|
 |
Условие
Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то
дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придётся поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придётся поменять при очередной замене.
Решение
Решать задачу будем в общем случае. Заменим горящий фонарь единицей, а перегоревший – нулём. Тогда сначала мы имеем ряд из n единиц, которые последовательно и в случайном порядке превращаются в нули.
а) После первого превращения два нуля подряд получиться не могут. Найдём
вероятность того, что после k превращений ряд не имеет двух нулей подряд. Такой ряд назовём правильным. Количество правильных рядов длины n с ровно k нулями равно (см. задачу 60403).
Заметим, что в ходе превращений k нулей могут возникнуть в любом порядке, и всего таких порядков k!. Значит, всего существует
способов получить из начального ряда единиц какой-нибудь правильный ряд с k нулями. С другой стороны, общее число рядов длины n с k нулями равно
, и, значит, всего существует
способов получить какой-нибудь ряд с k нулями последовательными превращениями единиц в нули.
Все эти способы равновозможны, поэтому вероятность pk того, что после k превращений получившийся ряд будет правильным, равна Теперь найдём вероятность pk того, что два нуля подряд появятся ровно после k превращений. Для этого нужно вычесть из вероятности получить правильный ряд с k – 1 нулём вероятность получить правильный ряд с k нулями. Таким образом,
Для n = 9, k = 4 получаем:
б) Найдём математическое ожидание числа фонарей под замену. Ясно, что это математическое ожидание числа превращений единиц в нули, прежде чем
образуется два нуля подряд. Обозначим эту случайную величину X.
EX = p1 + 2p2 + 3p3 + 4p4 + ... Суммирование есть смысл
продолжать до k = : при k >
все вероятности нулевые. Итак,
Полученное выражение удобно интерпретировать с помощью треугольника Паскаля. Числители образует наклонную, а знаменатели – горизонтальную линию (см. рисунок). Поделив числители на соответствующие знаменатели (в том же столбце), сложим полученные частные.
Ответ
a) 25/84 ≈ 0,294; б) 837/252 ≈ 3,32.
