ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65366
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что четырёхугольники AMCD и BMDC описаны около окружностей с центрами O1 и O2 соответственно. Прямая O1O2 отсекает от угла CMD равнобедренный треугольник с вершиной M. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.


Решение

  Если прямые AB и CD параллельны, то окружности, вписанные в четырёхугольники AMCD и BMDC, равны. Тогда из условия следует, что картинка симметрична относительно перпендикуляра, опущенного из точки M на O1O2, а значит, ABCD – равнобокая трапеция (или прямоугольник).
  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке K; без ограничения общности A лежит между K и B. Точки O1 и O2 лежат на биссектрисе угла BKC. По условию прямые CM и DM образуют с этой биссектрисой равные углы; отсюда следует, что  ∠DMK = ∠KCM  (см. рис.). Поскольку O1 и O2 – центры вписанной в треугольник KMC и вневписанной в треугольник KDM окружностей соответственно, то  ∠DO2K = ½ ∠DMK = ½ ∠KCM = ∠DCO1;  это значит, что четырёхугольник CDO1O2 вписан. Те же окружности являются вневписанной в треугольник AKD и вписанной в треугольник KBC соответственно, поэтому  ∠KAD = 2∠KO1D = 2∠DCO2 = ∠KCB,  откуда и следует вписанность четырёхугольника ABCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
класс
Класс 8
задача
Номер 8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .