Задача 65405

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Макаров М.А.

Звенья AB, BC и CD ломаной ABCD равны по длине и касаются некоторой окружности.
Доказать, что точка K касания этой окружности со звеном BC, её центр O и точка пересечения прямых AC и BD лежат на одной прямой.

Решение

BO – биссектриса равнобедренного треугольника ABC, поэтому  BO ⊥ AC.  Аналогично  CO ⊥ BD.  Таким образом, прямые CA, BD – высоты треугольника BOC. Но радиус OK – тоже высота, поэтому проходит через точку пересечения высот AC и BD.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1