|
|
 |
Условие
Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна а) 1; б) 2; в) 1001?
Решение
а) Удвоенная сумма диагоналей четырёхугольника больше его периметра (см. задачу 55152). Однако 2(1 + 1001) = 2004.
б) Рассмотрим четырёхугольник ABCD, где диагонали перпендикулярны, и диагональ AC = 1001 делит диагональ BD = 2 пополам. Его периметр зависит от положения на AC точки пересечения диагоналей K. При движении K от точки A к середине отрезка AC этот периметр непрерывно меняется от до
По теореме о промежуточном значении при некотором положении точки K периметр равен 2004.
в) Рассмотрим прямоугольник с диагоналями длины 1001. При изменении угла между диагоналями от 0° до 90° периметр непрерывно изменяется от По теореме о промежуточном значении найдётся угол, при котором периметр равен 2004.
Ответ
а) Не может; б), в) может.
Замечания
1. При желании размеры такого прямоугольника можно вычислить, решив уравнение x² + (1002 – x)² = 1001² (x и 1002 – x – длины сторон).
2. 4 балла.
