ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65406
Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна  а) 1;  б) 2;  в) 1001?


Решение

  а) Удвоенная сумма диагоналей четырёхугольника больше его периметра (см. задачу 55152).  Однако  2(1 + 1001) = 2004.

  б) Рассмотрим четырёхугольник ABCD, где диагонали перпендикулярны, и диагональ  AC = 1001  делит диагональ  BD = 2  пополам. Его периметр зависит от положения на AC точки пересечения диагоналей K. При движении K от точки A к середине отрезка AC этот периметр непрерывно меняется от     до     По теореме о промежуточном значении при некотором положении точки K периметр равен 2004.

  в) Рассмотрим прямоугольник с диагоналями длины 1001. При изменении угла между диагоналями от 0° до 90° периметр непрерывно изменяется от     По теореме о промежуточном значении найдётся угол, при котором периметр равен 2004.


Ответ

а) Не может;  б), в) может.

Замечания

1. При желании размеры такого прямоугольника можно вычислить, решив уравнение  x² + (1002 – x)² = 1001²  (x и  1002 – x  – длины сторон).

2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .