|
|
 |
Условие
Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.
Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.
Решение
Пусть A', B', C', D' – проекции вершин A, B, C, D пирамиды. Проекция самой пирамиды может быть выпуклым четырёхугольником с вершинами A', B', C', D' или треугольником (если, например, точка D' находится внутри треугольника A'B'C').
Пусть максимум площади достигается, когда проекция пирамиды имеет вид A'B'C'. Как известно, SA'B'C' = SABC cos α, где α – угол между плоскостями A'B'C' и ABC. Если бы угол α был отличен он нуля, то, повернув плоскость, мы увеличили бы площадь треугольника A'B'C' и, тем более, площадь проекции пирамиды; а это противоречит предположению. Значит, в этом случае плоскость проекции параллельна грани ABC.
Пусть максимум площади достигается, когда проекция пирамиды – четырёхугольник (например, A'B'C'D'). Тогда SA'B'C'D' = 2SK'L'M'N' (см. задачу 56493 а); K', L', M', N' – середины сторон A'B', B'C', C'D', D'A', то есть проекции середин K, L, M, N ребер AB, BC, CD, DA). KLMN – параллелограмм Вариньона, чьи стороны параллельны ребрам AC и BD. Следовательно, площадь проекции SA'B'C'D' = 2SKLMN cos α, где α – угол между плоскостью KLMN и плоскостью проекции. Снова угол α должен равняться нулю. Действительно, пусть это не так. Тогда можно немного повернуть плоскость проекции, уменьшив α, так, что четырёхугольник A'B'C'D' останется выпуклым. При этом его площадь увеличится. Противоречие.
Значит, в этом случае плоскость проекции параллельна плоскости KLMN, то есть ребрам AC и BD.
Замечания
6 баллов
