ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65411
Темы:    [ Кривые второго порядка ]
[ Теорема Виета ]
[ Производная и кратные корни ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны парабола  y = x²  и окружность, имеющие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке A совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают?


Решение

  Вот контрпример. Рассмотрим окружность  (x – a)² + (y – b)² – r² = 0,  соответствующую условию для точек  A(1, 1)  и  B(–3, 9)  (такая окружность существует: её центр находится на пересечении нормали к параболе в точке A и серединного перпендикуляра к AB).
  При подстановке  y = x²  в уравнение окружности мы получим уравнение 4-й степени, не содержащее члена 3-й степени, поэтому сумма корней этого уравнения равна нулю. Мы знаем три корня:  x1,2 = 1  (в силу касания этот корень кратный),  x3 = –3.  Отсюда  x4 = 1,  то есть в точке B касания нет (корень x3 не кратный), и других точек пересечения также нет.


Ответ

Не обязательно.

Замечания

  1. Для сомневающихся. Докажем, что если касательные к окружности  f(x, y) = 0  и параболе  y = x²  в точке    совпадают, то x0 – кратный корень уравнения  f(x, x²) = 0.
  Заметим, что  f(x, y) – f(x, z)  делится на  y – z  (это видно, например, из формулы разности квадратов). Пусть  y = g(x)  – уравнение общей касательной (g – линейная функция). Эта касательная имеет как с окружностью, так и с параболой единственную общую точку M, поэтому x0 – кратный корень квадратных уравнений  x² – g(x) = 0  и  f(x, g(x)) = 0.
  f(x, x²) = f(x, g(x)) + (f(x, x²) – f(x, g(x))).  Первое слагаемое делится на  (x – x0)²,  второе – на  x² – g(x),  что в свою очередь делится на  (x – x0)².  Следовательно,  f(x, x²)  делится на  (x – x0)².

  2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .