ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65456
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно, а на гипотенузе AB – точку M так, что  AK = BL = a,
KM = LM = b
  и угол KML прямой. Докажите, что  a = b.


Решение 1

  Предположим, что  a > b.  Тогда из треугольника AKM получаем, что  ∠AMK > ∠A.  Следовательно,  ∠B = 90° – ∠A > 90° – ∠AMK = ∠BML,  и из треугольника BML получаем, что  b > a.  Противоречие.
  Аналогично к противоречию приводит предположение  a < b.


Решение 2

  При повороте вокруг M на 90° точка K перейдёт в L, точка A – в некоторую точку D. При этом  AMDM,  AKDL.  Отсюда следует, что D лежит на прямой BC, а ML – медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника DMB. Значит, она равна половине гипотенузы DB, что и требовалось.

Замечания

1. Точка D может лежать на луче LC и за пределами отрезка LC.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .