ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65459
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.


Решение 1

  Пусть прямые AD и BC пересекаются в точке E (см. рис.; случай  D = C  очевиден). Так как  ∠ADK = 45° = ∠EBK,  то точки B, E, D, K лежат на одной окружности. Угол BDE – прямой, значит, и угол BKE – прямой. Следовательно, отрезок AE виден из точек C и K под прямым углом, то есть является диаметром описанной окружности треугольника ACK. Поэтому центр этой окружности лежит на прямой AE, совпадающей с AD.


Решение 2

  Заметим, что точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Если  D = C,  то всё очевидно. Если нет, то угол CDK – прямой, поскольку состоит из двух углов по 45° (см. рис.). Пусть O – вторая точка пересечения прямой AD и описанной окружности треугольника CDK. Тогда угол COK тоже прямой и  ∠OCK = ∠ADK = 45°.  Значит, треугольник COK – прямоугольный и равнобедренный. Так как угол CAK в два раза меньше угла COK и точки A и O лежат по одну сторону от CK, то точка A лежит на окружности с центром O и радиусом  OC = OK.


Решение 3

  Построим окружность на диаметре AB. Точка C делит пополам дугу ADB, биссектриса DK делит пополам другую дугу AB точкой T. Поэтому углы C и T (см. рис.) симметричны относительно AB.

  Так как ещё и углы CAK и TDA опираются на равные дуги, то треугольники CAK и TDA подобны. Центр О описанной окружности треугольника TDA лежит на луче, отложенном в сторону точки T от луча DA на угол ADO. Соответственно, центр описанной окружности треугольника CAK лежит на луче, отложенном в сторону точки C от луча AK на такой же угол. Осталось заметить, что углы ADO и OAD – равные углы равнобедренного треугольника AOD.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .