|
|
 |
Условие
Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.
Решение 1
Пусть прямые AD и BC пересекаются в точке E (см. рис.; случай D = C очевиден). Так как ∠ADK = 45° = ∠EBK, то точки B, E, D, K лежат на одной окружности. Угол BDE – прямой, значит, и угол BKE – прямой. Следовательно, отрезок AE виден из точек C и K под прямым углом, то есть является диаметром описанной окружности треугольника ACK. Поэтому центр этой окружности лежит на прямой AE, совпадающей с AD.
Решение 2
Заметим, что точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Если D = C, то всё очевидно. Если нет, то угол CDK – прямой, поскольку состоит из двух углов по 45° (см. рис.). Пусть O – вторая точка пересечения прямой AD и описанной окружности треугольника CDK. Тогда угол COK тоже прямой и ∠OCK = ∠ADK = 45°. Значит, треугольник COK – прямоугольный и равнобедренный. Так как угол CAK в два раза меньше угла COK и точки A и O лежат по одну сторону от CK, то точка A лежит на окружности с центром O и радиусом OC = OK.
Решение 3
Построим окружность на диаметре AB. Точка C делит пополам дугу ADB, биссектриса DK делит пополам другую дугу AB точкой T. Поэтому углы C и T (см. рис.) симметричны относительно AB.
Замечания
4 балла
