ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65512
Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписана окружность с центром O. На стороне AB выбрана точка P, а на продолжении стороны AC за точку C – точка Q так, что отрезок PQ касается окружности. Докажите, что  ∠BOP = ∠COQ.


Решение 1

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе. Применяя для треугольника BOP теорему о внешнем угле (см. рис.), получим
BOP = ∠APO – ∠ABO = ½ ∠APQ – ½ ∠B.  Аналогично,  ∠COQ = ∠ACO – ∠AQO = ½ ∠C – ½ ∠AQP.  Осталось убедиться, что
APQ – ∠B = ∠C – ∠AQP.  Это равенство равносильно тому, что  ∠APQ + ∠AQP = ∠B + ∠C,  которое, очевидно, выполняется, так как каждая его часть равна  180° – ∠A.


Решение 2

Заметим, что для треугольника PAQ данная окружность также является вписанной (см. рис.). Значит, O – точка пересечения биссектрис как в треугольнике BAC, так и в треугольнике PAQ. Следовательно,  ∠BOC = 90° + ½ ∠BAC = ∠POQ  (см. задачу 55448). Следовательно,
BOP = ∠POQ – ∠BOQ = ∠BOC – ∠BOQ = ∠COQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .