ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65514
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат ABCD и равнобедренный прямоугольный треугольник AEF  (∠AEF = 90°)  расположены так, что точка E лежит на отрезке BC (см. рисунок). Найдите угол DCF.


Решение 1

Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую BC (рис. слева). Так как  ∠FEP = 90° – ∠BEA = ∠EAB,  то прямоугольные треугольники FEP и EAB равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно,  PF = BE.  Кроме того,  BE = BC – CE = AB – CE = EP – CE = PC.  Таким образом,  PF = PC,  то есть треугольник CPF прямоугольный и равнобедренный. Значит,  ∠FCP = 45°,  тогда и  ∠DCF = 45°.


Решение 2

Проведём диагональ AC. Так как  ∠ECA = ∠EFA = 45°,  то четырёхугольник ECFA – вписанный (рис. справа). Значит,  ∠ACF = ∠AEF = 90°.  Следовательно,  ∠DCF = ∠ACF – ∠ACD = 45°.


Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .