Задача 65514

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Квадрат ABCD и равнобедренный прямоугольный треугольник AEF  (∠AEF = 90°)  расположены так, что точка E лежит на отрезке BC (см. рисунок). Найдите угол DCF.

Решение 1

Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую BC (рис. слева). Так как  ∠FEP = 90° – ∠BEA = ∠EAB,  то прямоугольные треугольники FEP и EAB равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно,  PF = BE.  Кроме того,  BE = BC – CE = AB – CE = EP – CE = PC.  Таким образом,  PF = PC,  то есть треугольник CPF прямоугольный и равнобедренный. Значит,  ∠FCP = 45°,  тогда и  ∠DCF = 45°.

Решение 2

Проведём диагональ AC. Так как  ∠ECA = ∠EFA = 45°,  то четырёхугольник ECFA – вписанный (рис. справа). Значит,  ∠ACF = ∠AEF = 90°.  Следовательно,  ∠DCF = ∠ACF – ∠ACD = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5