ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65524
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD точки E и F – середины сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G.
Что больше: площадь треугольника AGF или площадь четырёхугольника GECF?


Решение

Обозначим площадь треугольника AGF через S1, а площадь четырёхугольника GECF через S2 (см. рис.). Пусть площадь квадрата равна S, тогда
S1 + S2 + SABE + SADF = S.  Учитывая, что  SABE = SADF = S/4,  получим  S1 + S2 = S/2.  Значит,  S1S2 = (S/2S2) – S2 = 2(S/4S2) = 2(SBCF – S2) > 0  (см. рис.). Следовательно,  S1 > S2.


Ответ

SAFG > SCEGF.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .