|
|
 |
Условие
Три окружности проходят через точку X. A, B, C – точки их пересечения, отличные от X. A' – вторая точка пересечения прямой AX и описанной окружности треугольника BCX. Точки B' и C' определяются аналогично. Докажите, что треугольники ABC', AB'C и A'BC подобны.
Решение
Чтобы не рассматривать случаи взаимного расположения точек, прямых и окружностей, воспользуемся ориентированными углами.
∠(AB, BC') = ∠(AX, XC') = ∠(AX, XC) = ∠(AB', B'C), ∠(BA, AC') = ∠(BX, XC') = ∠(B'X, XC) = ∠(B'A, AC).
Если у треугольников ABC' и AB'C одинаковая ориентация, то предыдущие равенства означают, что их углы равны, и треугольники подобны. А если ориентация разная, то равенства означают, что два внутренних угла одного треугольника равны двум внешним углам другого. Но это невозможно, поскольку сумма двух внутренних углов меньше 180°, а двух внешних – больше.
Подобие треугольников ABC' и A'BC доказывается аналогично.
Замечания
3 балла
