F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

   Решение

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

   Решение

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

Решение 1

Это следует из неравенства     которое после раскрытия скобок и взаимного уничтожения членов вида    сводится к сумме нескольких неравенств вида  b³c + bc³ ≥ 2b²c²  (что равносильно верному неравенству  bc(b – c)² ≥ 0).

Решение 2

Это также следует из неравенства     которое сводится к сумме нескольких неравенств вида
4a + a³ ≥ 4a²  ⇔  a(2 – a)² ≥ 0.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования