ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65606
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Периметр треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.


Решение

  Предположим противное. Пусть в треугольнике ABC угол A равен 60°,  BC = a,  AB = a – x,  тогда  AC = a + x.  Выберем на луче AB точку B', а на луче AC точку C' так, что AB' = AC' = a.

  Треугольник AB'C' – равнобедренный с углом 60°. Поэтому он является и равносторонним, то есть  B'C' = a.
  Осталось заметить, что треугольники BC'B' и C'BC равны по трём сторонам. Поэтому ∠BCC' = ∠C'B'B = 60°.  Таким образои, в треугольнике ABC угол C тоже равен 60°, то есть он равносторонний.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2016
класс
Класс 7
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .