Задача 65606

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.

Решение

  Предположим противное. Пусть в треугольнике ABC угол A равен 60°,  BC = a,  AB = a – x,  тогда  AC = a + x.  Выберем на луче AB точку B', а на луче AC точку C' так, что AB' = AC' = a.

  Треугольник AB'C' – равнобедренный с углом 60°. Поэтому он является и равносторонним, то есть  B'C' = a.
  Осталось заметить, что треугольники BC'B' и C'BC равны по трём сторонам. Поэтому ∠BCC' = ∠C'B'B = 60°.  Таким образои, в треугольнике ABC угол C тоже равен 60°, то есть он равносторонний.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2016
класс
Класс	7
задача
Номер	5