ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 65618
УсловиеВ треугольник АВС вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке. РешениеЧасть конструкции, описанной в условии задачи, показана на первом рисунке. Так как стороны исходного треугольника являются касательными к описанной окружности треугольника, образованного точками касания, то задачу удобно переформулировать. Заметим, что OA || a, так как они обе перпендикулярны к l. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, E –
середина АН. Из того, что ОМ || AН и известного соотношения АН = 2OM (см. задачу 53528) следует, что OAEM и ОEHM – параллелограммы (их противолежащие стороны равны и параллельны). Значит, ME ⊥ l, то есть прямые ME и а совпадают. Из параллелограмма ОEHM получим, что ME содержит точку Р – середину P отрезка ОН. ЗамечанияР является центром окружности девяти точек треугольника АВС, а МЕ – один из её диаметров. Эти факты можно использовать в заключительной части рассуждения. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке