Задача 65618

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

В треугольник АВС вписана окружность. Из середины каждого отрезка, соединяющего две точки касания, проводится перпендикуляр к противолежащей стороне. Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Решение

  Часть конструкции, описанной в условии задачи, показана на первом рисунке. Так как стороны исходного треугольника являются касательными к описанной окружности треугольника, образованного точками касания, то задачу удобно переформулировать.

  Рассмотрим треугольник АВС и его описанную окружность. Проведём к ней касательную l в точке А, а из середины М стороны ВС проведём прямую а, перпендикулярную l (рис. справа). Аналогично определим прямые b и c. Требуется доказать, что прямые а, b и с пересекаются в одной точке.

  Заметим, что  OA || a, так как они обе перпендикулярны к l. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС, E – середина АН. Из того, что  ОМ || AН  и известного соотношения  АН = 2OM  (см. задачу 53528) следует, что OAEM и ОEHM – параллелограммы (их противолежащие стороны равны и параллельны). Значит,  ME ⊥ l,  то есть прямые ME и а совпадают. Из параллелограмма ОEHM получим, что ME содержит точку Р – середину P отрезка ОН.
  Проведя аналогичные рассуждения, получим, что прямые b и c также проходят через точку Р. Таким образом, прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Замечания

Р является центром окружности девяти точек треугольника АВС, а МЕ – один из её диаметров. Эти факты можно использовать в заключительной части рассуждения.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	10
задача
Номер	10.4.2