Условие
Вася нарисовал карандашом разбиение клетчатого прямоугольника на прямоугольники размером 3×1 (тримино), закрасил ручкой центральную клетку каждого из получившихся прямоугольников, после чего стер карандашные линии.
Всегда ли можно восстановить исходное разбиение?
Решение
Пусть есть два разных разбиения прямоугольника, у которых совпадают закрашенные клетки. Тогда среди этих закрашенных клеток есть такие, которым в одном разбиении соответствуют вертикальной, а в другом – горизонтальной триминошке (назовем такие закрашенные клетки плохими).
Среди плохих клеток найдём самую верхнюю (любую, если их несколько).
Пусть это клетка
K и в первом разбиении
K покрыта вертикальной, а во втором – горизонтальной триминошкой (см. рис.). Рассмотрим клетку
L – соседнюю с
K сверху. Она принадлежит прямоугольнику, поскольку в первом разбиении она покрыта вертикальной триминошкой. Во втором разбиении этой триминошки нет, так что одна из клеток
E1,
E2,
E3 – соседей
L справа, слева и сверху – закрашена: это центр триминошки, покрывающей
L во втором разбиении. Но в первом разбиении
L покрыта не ею, так
что найденная нами закрашенная клетка – плохая. Однако
E1,
E2 и
E3 лежат выше
K, что противоречит тому, как мы выбору
K.
Ответ
Всегда.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская устная олимпиада для 6-7 классов |
|
год/номер |
|
Номер |
14 (2016 год) |
|
Дата |
2016-03-20 |
|
класс |
|
Класс |
6 класс |
|
задача |
|
Номер |
6.5 |
