n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

   Решение

Квадраты ABCD и BEFG расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что точки A, G и E лежат на одной прямой.
Докажите, что тогда точки D, F и E также лежат на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Квадраты ABCD и BEFG расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что точки A, G и E лежат на одной прямой.
Докажите, что тогда точки D, F и E также лежат на одной прямой.

Решение 1

  Рассмотрим треугольники AGB и AGF (рис. слева): AG – общая сторона,  GB = GF  (равные стороны квадрата BEFG),  ∠AGB = AGF = 135°  (углы, смежные с углами BGE и FGE, равными по 45°). Следовательно, треугольники AGB и AGF равны по первому признаку. Значит,  AB = AF = AD,
∠GAB = GAF = α,  ∠GFA = 180° – ∠AGF – ∠GAF = 45° – α.
  В равнобедренном треугольнике ADF  ∠DAF = 90° – 2α,  ∠DFA = ½ (90° + 2α) = 45° + α.
  Таким образом,  ∠DFG = ∠GFA + ∠DFA = (45° – α) + (45° + α) = 90°,  а  ∠DFG + ∠EFG = 180°.  Значит, точки D, F и E лежат на одной прямой.

           

Решение 2

  Опустим перпендикуляры AK и AL на прямые EF и EB соответственно (рис. справа). Достаточно доказать, что на одной прямой лежат точки D, K и F. Четырёхугольник AKEL – квадрат, так как три его угла – прямые, а диагональ EG – биссектриса угла E.
  Треугольники DAK и BAL равны по первому признаку, так как  AD = AB,  AK = AL,  ∠DAK = 90° – ∠BAK = ∠BAL.
  Значит,  ∠DKA = ∠BLA = 90°,  откуда и следует, что точки D, K и F лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования