Задача 65647

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Якубов А.

Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C₁ и B'B₁ соответственно. Докажите, что середина отрезка B₁C₁ лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.

Решение

  Пусть IH – высота треугольника BIC. Докажем, что четырёхугольник C₁IB₁H – параллелограмм, откуда и будет следовать утверждение задачи.

  Первый способ.  ∠AIC = 90° + ½ ∠B   (см. задачу 55448). Следовательно,  ∠B'IC = ½∠B.  Аналогично  ∠C'IB = ½ ∠C.  Значит, треугольники BIC, BC'I и IB'C – подобны (рис. слева).
  Поскольку IH и B'B₁ – соответствующие высоты в подобных треугольниках, то  BH : HC = IB₁ : CB₁,  откуда следует, что  HB₁ || BI.  Аналогично
HC₁ || CI,  то есть C₁IB₁H – параллелограмм.

  Второй способ. Пусть M и K – точки пересечения BC с прямыми C’C₁ и B’B₁ соответственно (рис. справа). Тогда треугольники C'BM и B'CK – равнобедренные, откуда C₁ и B₁ – середины отрезков C'M и B'K соответственно. Кроме того,  IM = IC' = IB' = IK.  Следовательно, треугольник MIK – равнобедренный, откуда  MH = HK.
  Таким образом, точки I, C₁, H и B₁ являются серединами сторон четырёхугольника C'MKB', то есть образуют параллелограмм (см. задачу 53475).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2016-04-17
класс
Класс	10-11
задача
Номер	1