ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65647
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Якубов А.

Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C1 и B'B1 соответственно. Докажите, что середина отрезка B1C1 лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.


Решение

  Пусть IH – высота треугольника BIC. Докажем, что четырёхугольник C1IB1H – параллелограмм, откуда и будет следовать утверждение задачи.

  Первый способ.  ∠AIC = 90° + ½ ∠B   (см. задачу 55448). Следовательно,  ∠B'IC = ½∠B.  Аналогично  ∠C'IB = ½ ∠C.  Значит, треугольники BIC, BC'I и IB'C – подобны (рис. слева).
  Поскольку IH и B'B1 – соответствующие высоты в подобных треугольниках, то  BH : HC = IB1 : CB1,  откуда следует, что  HB1 || BI.  Аналогично
HC1 || CI,  то есть C1IB1H – параллелограмм.

  Второй способ. Пусть M и K – точки пересечения BC с прямыми C’C1 и B’B1 соответственно (рис. справа). Тогда треугольники C'BM и B'CK – равнобедренные, откуда C1 и B1 – середины отрезков C'M и B'K соответственно. Кроме того,  IM = IC' = IB' = IK.  Следовательно, треугольник MIK – равнобедренный, откуда  MH = HK.
  Таким образом, точки I, C1, H и B1 являются серединами сторон четырёхугольника C'MKB', то есть образуют параллелограмм (см. задачу 53475).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2016-04-17
класс
Класс 10-11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .