Задача 65691

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Бородин П.А.

За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?

Решение

  Предположим, что папа видел мальчика больше половины указанного времени. Тогда папа видел мальчика больше половины времени, пока мальчик проезжал какой-нибудь один круг.
  Рассмотрим этот круг. Пусть он начинался и заканчивался в точке S периметра школы. Обозначим вершины периметра школы через A, B, C и D так, чтобы точка S лежала на отрезке AB, а мальчик, делая круг, проезжал эти вершины в порядке B, C, D и A (см. рис.).

  Отметим множество M всех точек, в которых находился мальчик, пока его видел папа. Это множество может состоять из отдельных точек и промежутков, лежащих на сторонах квадрата ABCD, причём по нашему предположению суммарная длина этих промежутков больше половины периметра этого квадрата. При симметрии относительно центра O этого квадрата множество M перейдёт в множество M’, суммарная длина промежутков которого также больше половины периметра квадрата. Значит, эти множества имеют пересечение, которое содержит бесконечно много точек. Какие-нибудь две из этих точек, назовём их K и L, лежат внутри одного из отрезков: SB, BC или CS', где S' – точка, симметричная S относительно O.
  Без ограничения общности будем считать, что точки K и L лежат внутри отрезка SB, причём точку K мальчик проехал раньше. По построению получаем, что папа видел мальчика не только в точках K и L, но и в симметричных им относительно O точках K' и L'. Значит, папа находился на стороне AB, когда мальчик находился в точке L, и на стороне CD, когда мальчик находился в точке K'. Сумма длин отрезков LB, BC и BK' меньше половины периметра квадрата. Значит, мальчик от точки L до точки K' проехал меньше половины периметра школы, а папа за то же время прошел меньше четверти периметра школы. Противоречие: чтобы добраться от стороны AB до стороны CD папе нужно было пройти не менее четверти периметра школы.

Ответ

Не мог.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2016
Номер	79
класс
Класс	11
задача
Номер	4