Задача 65700

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Дмитриев О., Женодаров Р.Г.

Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют).
Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?

Решение

  Заметим, что число, оканчивающееся на 2016, делится на 16.
  Среди десяти Петиных чисел есть либо одно, либо два числа, делящихся на 8. В первом случае одно из полученных наименьших общих кратных (НОК) делится на 8, а второе – нет, и потому их сумма не делится даже на 8. Во втором же случае разность двух Петиных чисел, делящихся на 8, равна 8, поэтому одно из них делится на 16, а другое – нет. Следовательно, одно из НОК делится на 16, а другое – нет. Значит, и в этом случае сумма НОК делиться на 16 не может.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2