Дано 100 чисел a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀₀, удовлетворяющих условиям:
  a₁ – 3a₂ + 2a₃ ≥ 0,
  a₂ – 3a₃ + 2a₄ ≥ 0,
  a₃ – 3a₄ + 2a₅ ≥ 0,
    ...,
  a₉₉ – 3a₁₀₀ + 2a₁ ≥ 0,
  a₁₀₀ – 3a₁ + 2a₂ ≥ 0.
Доказать, что все числа a_i равны между собой.

   Решение

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD  (BC || AD).  В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а  CH = ^9R/₈.  Найдите SM.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A₁B₁C₁ как . Найдите отношение периметра треугольника A₁B₁C₁ к периметру треугольника ABC.

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

   Решение

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

Решение 1

  На продолжении отрезка AB за точку A отметим точку K так, что  AB = AK  (рис. слева). Тогда AM – средняя линия треугольника BCK, откуда
AM || CK.  Значит,  ∠BKC = ∠BAM = ∠ADC.  Отсюда следует, что четырёхугольник AKDC вписан.
  Опять используя параллельность AM и CK, получаем  ∠CAM = ∠ACK = ∠ADK.  DA – медиана и высота треугольника BDK, поэтому DA является и биссектрисой; отсюда  ∠ADB = ∠ADK = ∠CAM.

                   

Решение 2

  Заметим, что  ∠ADC + ∠DAM = ∠BAM + ∠DAM = 90°;  это значит, что  AM ⊥ CD.  Опустим перпендикуляры MN и BP на прямую CD; тогда точки A, M и N лежат на одной прямой (рис. в центре).
  Поскольку MN – средняя линия треугольника BCP, то  PN = NC.  Значит, AN – высота и медиана треугольника APC, откуда  ∠CAM = ∠MAP.  Так как  BP || AN,  то  ∠MAP = ∠APB.  Наконец, поскольку  ∠BPD = ∠BAD = 90°,  четырёхугольник ABPD вписан; поэтому  ∠APB = ∠ADB.  Итак,
∠CAM = ∠MAP = ∠APB = ∠ADB.

Решение 3

  Отложим на луче AM точку Q так, что  AQ = 2AM  (рис. справа). Тогда в четырёхугольнике ABQC диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть он – параллелограмм; значит,  ∠CAQ = ∠AQB.
  Так как QC || AB,  то  QC ⊥ AD.  Кроме того,  DC ⊥ AQ  (см. решение 2). Значит, C – точка пересечения высот треугольника AQD, откуда  AC ⊥ QD  (и, значит,  BQ ⊥ QD).
  Поскольку  ∠BAD = ∠BQD = 90°,  четырёхугольник ABQD вписан. Значит,  ∠ADB = ∠AQB = ∠CAQ,  что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования