Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S₁, а через точку P — прямая CD, параллельная AB (точки B и C лежат на S₂, точка D — на S₁). Докажите, что ABCD — параллелограмм.

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

Решение

Прямая CB и проведённая окружность симметричны относительно высоты AH. Значит, и их общие точки C и N симметричны. Поэтому в треугольнике ACN два угла по 60°, то есть он равносторонний. Аналогично треугольник BCM равносторонний. Следовательно,  AN || BM  (ввиду равенства углов CAN и CMB).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования