Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.
Расследуя одно дело, следователь Башковицкий обнаружил, что ключевой свидетель – тот из семьи Петровых, кто в тот роковой день пришёл домой прежде прочих. Расследование выявило следующие факты.
1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было...
2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване – у него болела голова.
3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила – звонок бы его разбудил.
4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
5. Дмитрий когда пришёл – не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка – слышал.
"Ага, – задумался Башковицкий. – Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?"
|
|
 |
Условие
Расследуя одно дело, следователь Башковицкий обнаружил, что ключевой свидетель – тот из семьи Петровых, кто в тот роковой день пришёл домой прежде прочих. Расследование выявило следующие факты.
1. Соседка Марья Кузьминична хотела одолжить у Петровых соли, звонила им в дверь, но никто не открыл. Во сколько? Да кто ж знает? Темно уж было...
2. Галина Ефимовна Петрова, придя вечером домой, обнаружила обоих детей на кухне, а мужа на диване – у него болела голова.
3. Муж Анатолий Иванович заявил, что как пришёл, сразу лёг на диван и задремал, никого не видел, ничего не слышал, соседка точно не приходила – звонок бы его разбудил.
4. Дочь Светлана сказала, что, вернувшись домой, сразу ушла к себе в комнату, про отца ничего не знает, но в прихожей, как всегда, споткнулась о Димкин ботинок.
5. Дмитрий когда пришёл – не помнит, отца не видел, а как Светка ругалась из-за ботинка – слышал.
"Ага, – задумался Башковицкий. – Какова же вероятность того, что Дмитрий вернулся домой раньше отца?"
Решение
Относительно Дмитрия, Светланы и Анатолия определённости нет, известно лишь, что все трое пришли домой между визитом Марьи Кузьминичны и приходом Галины Ефимовны – именно эти два события ограничивают период времени, интересующий Башковицкого. Будем считать, что вероятность прихода члена семьи домой в какой-то промежуток времени пропорциональна длине этого промежутка.
Введём обозначения. Пусть от визита Марьи Кузьминичны до прихода Галины Ефимовны прошло время m, до прихода Анатолия – время x, до прихода Дмитрия – время y, а до прихода Светланы – z.
Из свидетельских показаний следует, что 0 < x < m, 0 < y < z < m. В системе координат Oxyz получаем треугольную призму F с вершинами (0, 0, 0), (0, 0, m), (0, m, m), (m, 0, 0), (m, 0, m) и (m, m, m) (см. рисунок). При этих условиях требуется найти вероятность события y < x. Внутри призмы F это неравенство определяет четырёхугольную пирамиду G с вершинами (0, 0, 0), (m, 0, 0), (m, 0, m), (0, 0, m) и (m, m, m).
Ответ
⅔.
