В остроугольном треугольнике ABC  AH₁, BH₂ – высоты, D – проекция H₁ на AC, E – проекция D на AB,  F – точка пересечения ED и AH₁.
Докажите, что  H₂F || BC.

   Решение

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC  AH₁, BH₂ – высоты, D – проекция H₁ на AC, E – проекция D на AB,  F – точка пересечения ED и AH₁.
Докажите, что  H₂F || BC.

Решение

  Обозначив точку пересечения высот через H и применив несколько раз теорему Фалеса, получаем (см. рис.)
^AF/_AH1 = ^AF/_AH·^AH/_AH1 = ^AD/_AC·^AH₂/_AD = ^AH₂/_AC.
  Отсюда по той же теореме получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования