|
|
 |
Условие
По стороне AB треугольника ABC движется точка X, а по описанной окружности Ω – точка Y так, что прямая XY проходит через середину дуги AB. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IXY, где I – центр вписанной окружности треугольника ABC.
Решение
Пусть U – середина дуги AB. Так как ∠AYU = ∠UAB, то треугольники AUX и YUA подобны, то есть UX·UY = UA². По лемме о трезубце (см. задачу 53119) UA = UI, следовательно, UI – касательная к описанной окружности ω треугольника IXY (см. рис.). Поэтому центр ω лежит на прямой, проходящей через I перпендикулярно CI. При этом окружность ω не может лежать внутри окружности Ω, поэтому искомое ГМТ состоит из двух лучей. Началами этих лучей будут центры двух окружностей, проходящих через точки A (B) и I, то есть точки пересечения указанной прямой с биссектрисами углов AUI и BUI.
Ответ
Два (открытых) луча.
