Задача 65806

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

Вокруг прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность, на меньших дугах AC и BC взяты их середины – K и P соответственно. Отрезок KP пересекает катет AC в точке N. Центр вписанной окружности треугольника ABC – I. Найти угол NIC.

Решение

По лемме о трезубце (см. задачу 53119) точки K и P являются центрами описанных окружностей треугольников IAC, IBC соответственно. Значит, KP является серединным перпендикуляром к отрезку CI. Следовательно, N – точка касания AC с вписанной окружностью и  ∠NIC = 45°  (см. рис.).

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	18