Задача 65809

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центр поворотной гомотетии ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Доледенок А.В.

BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB₁C₁ в точках B₁ и C₁ пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB₁C₁ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Решение

  Пусть A₀, B₀, C₀ – середины BC, CA, AB,  O, H – центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC. Заметим, что точки B₁, C₁ лежат на окружности Ω с диаметром AH, а точки B₀, C₀ – на окружности ω с диаметром AO. Проекция Z точки A на прямую OH лежит на обеих этих окружностях, то есть Z является центром поворотной гомотетии, переводящей C₀ в B₀, а C₁ в B₁  (∠C₀ZB₀ = ∠A = ∠C₁ZB₁,  а отношения  ZB₀ : ZB₁  и  ZC₀ : ZC₁  равны отношению радиусов ω и Ω). Осталось доказать, что эта поворотная гомотетия переводит M в N, отсюда будет следовать, что описанная окружность треугольника AMN проходит через Z.
  Заметим, что точка A₀ и центр окружности Ω диаметрально противоположными на окружности девяти точек треугольника ABC. Поэтому прямые A₀B₁ и A₀C₁ касаются Ω, то есть совпадают с прямыми B₁M и C₁N (см. рис.). Спроецировав прямую AC на AB из точки A₀, получаем равенство двойных отношений  (B₀, B₁, N, ∞) = (∞, M, C₁, C₀),  или  NB₀ : NB₁ = MC₀ : MC₁,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	16