ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65810
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Выход в пространство ]
[ Равногранный тетраэдр ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Якубов А.

Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  MAHB = MAHC,  MBHA = MAHC,  MCHA = MCHB.  Докажите, что HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC.


Решение

Отметим в пространстве такую точку X, что  XMA = MAHB,  XMB = MBHA,  XMC = MCHA.  Рассмотрим тетраэдр XMAMBMC. У него все грани равновелики, потому что, например, треугольник XMAMB равен треугольнику HCMAMB. Значит, все грани равны (см. задачу 87064), в частности, равны треугольники MAMBMC и MBMAHC, откуда следует, что точки HC, MA, MB, MC лежат на одной окружности – окружности девяти точек. Следовательно, HC – основание высоты.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2016
тур
задача
Номер 22

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .