Задача 65810

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Выход в пространство ] [ Равногранный тетраэдр ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Якубов А.

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  M_AH_B = M_AH_C,  M_BH_A = M_BH_C,  M_CH_A = M_CH_B.  Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

Решение

Отметим в пространстве такую точку X, что  XM_A = M_AH_B,  XM_B = M_BH_A,  XM_C = M_CH_A.  Рассмотрим тетраэдр XM_AM_BM_C. У него все грани равновелики, потому что, например, треугольник XM_AM_B равен треугольнику H_CM_AM_B. Значит, все грани равны (см. задачу 87064), в частности, равны треугольники M_AM_BM_C и M_BM_AH_C, откуда следует, что точки H_C, M_A, M_B, M_C лежат на одной окружности – окружности девяти точек. Следовательно, H_C – основание высоты.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2016
тур
задача
Номер	22