Условие
Докажите, что все грани тетраэдра равны тогда и только тогда,
когда они равновелики.
Решение
Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC
( AN || KD || BM || LC ), проведя через
его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (рис.1).
Если все грани тетраэдра ABCD равны, то они равновелики. Пусть
все грани тетраэдра ABCD равновелики. Из середины G ребра AB
опустим перпендикуляр GH на ребро CD (рис.1). Рассмотрим ортогональную
проекцию PA1B1 тетраэдра ABCD на плоскость, перпендикулярную CD ,
где P – проекции точек C , D и H ; A1 – проекция вершины A ,
B1 – проекция вершины B .
Из равенства площадей треугольников ADC и BDC , следует
равенство их высот, опущенных на общую сторону CD , а значит, и
равенство ортогональных проекций A1P и B1P этих высот на плоскость,
перпендикулярную CD . Поскольку проекция G1 середины отрезка AB
является серединой A1B1 , медиана PG1 равнобедренного треугольника
A1B1P перпендикулярна основанию A1B1 . Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах GH 
AB . Значит, общий перпендикуляр скрещивающихся
прямых AB и CD проходит через середину AB . Аналогично докажем, что
общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AB и CD проходит через
середину CD .
Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных
рёбер тетраэдра ABCD , перпендикулярны этим ребрам, а значит, и
граням параллелепипеда AKBLNDMC . Поэтому, параллелепипед AKBLNDMC –
прямоугольный. Следовательно, все грани тетраэдра ABCD – равные
треугольники, т.е. тетраэдр – равногранный.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7282 |
