Задача 65821

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Отношения площадей (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Богданов И.И., Филимонов В.П., Погребняк В.

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  S_DEF : S_ABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.

Решение

  Пусть угол C прямой, D, E, F – центры квадратов, построенных соответственно на сторонах BC, AC и AB, O – середина AB.

  Способ 1. Точки C и F лежат на окружности с диаметром AB, поэтому  ∠ACF = ∠ABF = 45°.  Следовательно,  CF ⊥ DE  и  S_DEF = ½ FC·DE.

  а) Пусть K – точка пересечения CF и AB. Поскольку  CF || BD || AE  (все они перпендикулярны DE), то
S_ABC = S_ACK + S_BCK = S_ECK + S_DCK = S_DEK < S_DEF.

  б)  S_DEF – S_ABC = S_DEF – S_DEK = S_FDK + S_FEK = S_FBK + S_FAK = S_AFB = ½ FO·AB ≥ ½ h_С·AB = S_ABC  (h_С – высота треугольника ABC,  h_С ≤ CO = FO).

  Способ 2. б) Построим прямоугольник ACBG и опишем вокруг него квадрат DEMN. При повороте на 90° вокруг центра этого квадрата он перейдёт в себя, а точка A – в точку F. Значит, точка F лежит на стороне MN. Заметим, что  S_DEF = ½ S_DEMN.  Загнув "уголки" квадрата, не входящие в прямоугольник (см. рис.), мы его полностью покроем. Значит,  2S_ABC = S_ABCG ≤ ½ S_DEMN.

Замечания

1. Баллы: 2 + 2.

2. Задача была опубликована в Задачнике "Кванта: ("Квант", 2006, №3, задача М1997).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4