ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65821
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  SDEF : SABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.


Решение 1

  Пусть угол C прямой, D, E, F – центры квадратов, построенных соответственно на сторонах BC, AC и AB, O – середина AB.
  Точки C и F лежат на окружности с диаметром AB, поэтому  ∠ACF = ∠ABF = 45°.  Следовательно,  CFDE  и  SDEF = ½ FC·DE.

  а) Пусть K – точка пересечения CF и AB. Поскольку  CF || BD || AE  (все они перпендикулярны DE), то
SABC = SACK + SBCK = SECK + SDCK = SDEK < SDEF.

  б)  SDEF – SABC = SDEF – SDEK = SFDK + SFEK = SFBK + SFAK = SAFB = ½ FO·AB ≥ ½ hС·AB = SABC  (hС – высота треугольника ABC,  hС ≤ CO = FO).


Решение 2

  а) Ясно, что OD и OE – серединные перпендикуляры к катетам  BC = a  и  AC = b,  и поэтому  ODOE.  Точка пересечения с катетом BC разбивает OD на части длины b/2 и a/2. Аналогично  OE = ½ (a + b).  Поэтому  SDEF > SDEO ≥ SABC  (последнее неравенство равносильно тому, что  ½ (a+b/2)² ≥ ab/2).

  б) В решении 1 показано, что  CFDE.  Опустив перпендикуляры OL и OH на DE и CF, получим прямоугольник OHCL. Но треугольник OCF – равнобедренный, поэтому  CF/2 = CH = OL.  Отсюда  SDEF = 2SDEO ≥ 2SABC  (последнее неравенство доказано в а).

Замечания

1. Баллы: 2 + 2.

2. Задача была опубликована в Задачнике "Кванта: ("Квант", 2006, №3, задача М1997).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .