|
|
 |
Условие
Известно, что число a положительно, а неравенство 1 < xa < 2 имеет ровно три решения в целых числах.
Сколько решений в целых числах может иметь неравенство 2 < xa < 3 ?
Решение
На полуинтервале длины 1 числовой оси всегда есть целое число, значит, на интервале длины больше n – не менее n целых чисел. Поэтому если на интервале лежит ровно n целых чисел, то его длина больше n – 1 (расстояние между крайними целыми), но не более n + 1 (иначе там есть n + 1 целое).
Решения неравенств лежат соответственно на интервалах (1/a, 2/a) и (2/a, 3/a) одинаковой длины. На первом – 3 числа, поэтому его длина больше 2, но не более 4. Значит, на втором интервале лежит не менее двух, но не более четырёх целых чисел. Все эти значения достигаются, например, при
a = 5/13, ¼, 5/17 соответственно (1/a = 2⅗, 4, 3⅖).
Ответ
2, 3 или 4 решения.
Замечания
1. Ср. с задачей 65843.
2. 4 балла.
