Задача 65851

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?

Решение

  Один из примеров состоит из полуокружности радиуса 2 и двух полуокружностей радиуса 1 (рис. слева).

  Ясно, что "горизонтальный" отрезок делит периметр пополам. Проведём любую другую прямую через точку A под некоторым углом u (измеренным в радианах) к отрезку (рис. справа). От нижней части отнялась дуга  a = u·2  (здесь угол u центральный) и прибавилась равная по длине дуга  b = 2u  (здесь угол u вписанный).

Ответ

Существуют.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	27
Дата	2005/2006
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	6