ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65853
Темы:    [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2n начинается числом 5k, а десятичная запись числа 5n начинается числом 2n?


Решение 1

Если такие n и k есть, то  5k·10l < 2n < (5k + 1)·10l,  2k·10m < 2n < (2k + 1)·10m.  Перемножив неравенства почленно, получим
10k+l+m < 10n < (5k + 1)(2k + 1)·10l+m <  2·5k·5·2k·10l+m = 10k+l+m+1.  Следовательно,  k + l + m < n < k + l + m + 1.  Противоречие.


Решение 2

Пусть такие числа нашлись.  2n·5n = 10n.  Заменим в записях 2n и 5n нулями все цифры, кроме тех первых, которые составляют 5k и 2k. Каждое из чисел уменьшится, но не более чем в два раза. Произведение полученных чисел будет меньше 10n, но не более чем в 4 раза, поэтому оно не будет иметь вид 10...0. Однако одно полученное число равно 5k·10l, а другое – 2k·10m, поэтому их произведение равно 10k+l+m. Противоречие.


Ответ

Не существуют.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .