|
|
 |
Условие
На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.
Решение
Лемма.
Доказательство. Поскольку sin∠APA1 = sin∠APB1 (углы смежные), то (по теореме синусов). Второе равенство доказывается аналогично.
Пусть отрезок B1C1 пересекает биссектрису AA1 в точке M. По теореме Чевы
Заменив на
(AM – биссектриса треугольника B1A1C), получим, что
то есть
Отсюда
Пусть φ = ½ ∠A < π/2. Поскольку функция возрастает на интервале (0, φ) (числитель возрастает, а знаменатель убывает и оба положительны), прямые AP и AQ делят (равные φ) углы A1AC и A1AB в равном отношении. Значит, ∠PAC = ∠QAB.
Замечания
6 баллов
