ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65855
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.


Решение

  Лемма.  
  Доказательство. Поскольку  sin∠APA1 = sin∠APB1  (углы смежные), то     (по теореме синусов). Второе равенство доказывается аналогично.

  Пусть отрезок B1C1 пересекает биссектрису AA1 в точке M. По теореме Чевы  
  Заменив    на    (AM – биссектриса треугольника B1A1C), получим, что     то есть     Отсюда    
  Пусть  φ = ½ ∠A < π/2.  Поскольку функция     возрастает на интервале  (0, φ)  (числитель возрастает, а знаменатель убывает и оба положительны), прямые AP и AQ делят (равные φ) углы A1AC и A1AB в равном отношении. Значит,  ∠PAC = ∠QAB.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .