ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65914
Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если  AB = c,  AM = m  и  AN = n.


Решение

  Докажем, что  АМ·АВ = AN·AC  (то есть  mc = nAC).

  Первый способ. В прямоугольных треугольниках ADB и ADC проведём высоты DP и DQ соответственно (рис. слева). Тогда  АР·АВ = AD² = AQ·AC.  Так как треугольники ADM и ADN – равнобедренные, то  АР = ½ AM  и  АQ = ½ AN.
  Заменив АР и АQ в равенстве  АР·АВ = AQ·AC,  получим требуемое.

  Второй способ. Пусть  ∠ANM = α,  тогда  ∠AОM = 2α.  Из равнобедренного треугольника ADM получаем  ∠MAD = 90° – α,  поэтому  ∠В = α.  Отсюда следует, что четырёхугольник BMNC – вписанный. Теперь требуемое равенство следует из теоремы об отрезках секущих, проведённых из точки А к его описанной окружности (рис. справа).

  Третий способ. Проведём диаметр AE. Из подобия прямоугольных треугольников ABD и AEM следует, что  AB : AE = AD : AM,  то есть
АМ·АВ = AD·AE.  Аналогично  АN·АC = AD·AE.


Ответ

mc/n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .