ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65919
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Теорема косинусов ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.
Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?


Решение

  Заметим, что в правильном двадцатиугольнике вершины, взятые через одну, образуют правильный десятиугольник, а вершины этого десятиугольника, взятые через одну, образуют правильный пятиугольник. Достаточно сравнить две величины:    и   ,   где a20 и a5 – длины сторон правильных двадцатиугольника и пятиугольника соответственно. Докажем, что   ,   то есть сумма квадратов сторон пятиугольника больше.

  Первый способ. Рассмотрим соответствующий фрагмент и введём обозначения вершин так, как показано на рисунке. Заметим, что при  n > 4  угол правильного n-угольника – тупой. Рассмотрим треугольник А1А2А3 с тупым углом А2. По следствию из теоремы косинусов     Аналогично из треугольника А1А3А5 получим, что    Таким образом,   .

  Второй способ. Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R равна  2R sin 180°/n.  Значит,     Следовательно,  


Ответ

Сумма квадратов длин сторон правильного пятиугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2016
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .