|
|
 |
Условие
Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.
Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
Решение
Заметим, что в правильном двадцатиугольнике вершины, взятые через одну, образуют правильный десятиугольник, а вершины этого десятиугольника, взятые через одну, образуют правильный пятиугольник. Достаточно сравнить две величины: и
, где a20 и a5 – длины сторон правильных двадцатиугольника и пятиугольника соответственно. Докажем, что
, то есть сумма квадратов сторон пятиугольника больше.
Первый способ. Рассмотрим соответствующий фрагмент и введём обозначения вершин так, как показано на рисунке. Заметим, что при n > 4 угол правильного n-угольника – тупой. Рассмотрим треугольник А1А2А3 с тупым углом А2. По следствию из теоремы косинусов Аналогично из треугольника А1А3А5 получим, что
Таким образом,
.
Второй способ. Сторона правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R равна 2R sin 180°/n. Значит, Следовательно,
Ответ
Сумма квадратов длин сторон правильного пятиугольника.
