Условие
Дана окружность с центром в начале координат.
Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.
Решение
Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в начале координат, коэффициентом 
и углом поворота 45°. Если квадрат радиуса R данной окружности – чётное число, то все её целые точки переходят в целые, и мы получаем искомую окружность. Если R² – нечётное число, то все целые точки переходят в центры единичных квадратов с вершинами в целых точках, и искомая окружность получается после переноса на вектор (½, ½). Это достаточно очевидно из наглядных соображений – на рисунке изображено действие на целочисленную решетку сначала сжатием, а потом поворотом.
Более строго. Точка с целыми координатами (
x, y) под действием указанных поворота и растяжения, переходит в точку с координатами
x' = ½ (
x – y),
y' = ½ (
x + y). Если
R² чётно, то
x и
y одной чётности, поэтому
x', y' – целые и (
x')² + (
y')² = ½ (
x² +
y²) = ½
R². Если же
R² нечётно, то чётность
x и
y различна, поэтому после сдвига на вектор (½, ½) получим целую точку с координатами
x'' = ½ (
x – y + 1),
y'' = ½ (
x + y + 1) и
(
x'' – ½)² + (
y'' – ½)² = ½ (
x² + y²) = ½
R².
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2005 |
|
тур |
|
задача |
|
Номер |
15 |
