ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65939
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  На плоскости даны три прямые l1, l2, l3, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через Xi точку, симметричную точке X относительно прямой li,  i = 1, 2, 3.
  а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O1O2 и M1M2, O2O3 и M2M3, O3O1 и M3M1, пересекаются в одной точке.
  б) Где может лежать эта точка пересечения?


Решение

  Пусть АВС – треугольник, образованный прямыми li, Н – его ортоцентр. Заметим, что середины О1О2, О2О3, О3О1 совпадают с серединами А1, В1, С1 отрезков АН, ВН, СН и, стало быть, лежат на окружности девяти точек треугольника АВС. Действительно, стороны треугольника О1О2О3 параллельны средним линиям треугольника АВС и вдвое больше их, поскольку переводятся друг в друга гомотетией с центром в О и коэффициентом 2 (рис. слева). Следовательно, треугольник О1О2О3 центрально симметричен АВС. Значит, прямая, проходящая через точку С и середину О1О2, параллельна прямой, проходящей через О3 и середину АВ, то есть совпадает с высотой треугольника АВС, а Н является центром гомотетии АВС и А1В1С1.

  Пусть D – середина М1М2. Тогда     и, так как    и    получаются друг из друга поворотом вокруг точки С на угол 2∠С,    образует с каждым из них угол, равный 2∠С. Кроме того,    и    переходят в    при симметрии относительно СВ и СА соответственно, поэтому    и    образуют равные углы с биссектрисой угла С (а значит, равные углы и с биссектрисой угла С1 в треугольнике А1В1С1).
  Проведя аналогичные рассуждения для двух других середин, приходим к выводу, что прямые, соединяющие А1, В1, С1 с серединами сторон треугольника М1М2М3, симметричны относительно биссектрис треугольника А1В1С1 прямым, проходящим через А1, В1, С1 и параллельным ОМ.

  Теорема. Тройка прямых, выходящих из вершин треугольника, пересекается в одной точке, расположенной на описанной окружности этого треугольника, тогда и только тогда, когда прямые, симметричные данным относительно биссектрис соответствующих углов, параллельны (см. рис.).

  Доказательство использует простой подсчет углов.

  Согласно этой теореме, тройка прямых в нашей задаче пересекается на описанной окружности треугольника А1В1С1, то есть на окружности девяти точек исходного треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2005
тур
задача
Номер 18

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .