Задача 65939

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

  На плоскости даны три прямые l₁, l₂, l₃, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через X_i точку, симметричную точке X относительно прямой l_i,  i = 1, 2, 3.
  а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O₁O₂ и M₁M₂, O₂O₃ и M₂M₃, O₃O₁ и M₃M₁, пересекаются в одной точке.
  б) Где может лежать эта точка пересечения?

Решение

  Пусть АВС – треугольник, образованный прямыми l_i, Н – его ортоцентр. Заметим, что середины О₁О₂, О₂О₃, О₃О₁ совпадают с серединами А₁, В₁, С₁ отрезков АН, ВН, СН и, стало быть, лежат на окружности девяти точек треугольника АВС. Действительно, стороны треугольника О₁О₂О₃ параллельны средним линиям треугольника АВС и вдвое больше их, поскольку переводятся друг в друга гомотетией с центром в О и коэффициентом 2 (рис. слева). Следовательно, треугольник О₁О₂О₃ центрально симметричен АВС. Значит, прямая, проходящая через точку С и середину О₁О₂, параллельна прямой, проходящей через О₃ и середину АВ, то есть совпадает с высотой треугольника АВС, а Н является центром гомотетии АВС и А₁В₁С₁.

  Пусть D – середина М₁М₂. Тогда     и, так как    и    получаются друг из друга поворотом вокруг точки С на угол 2∠С,    образует с каждым из них угол, равный 2∠С. Кроме того,    и    переходят в    при симметрии относительно СВ и СА соответственно, поэтому    и    образуют равные углы с биссектрисой угла С (а значит, равные углы и с биссектрисой угла С₁ в треугольнике А₁В₁С₁).
  Проведя аналогичные рассуждения для двух других середин, приходим к выводу, что прямые, соединяющие А₁, В₁, С₁ с серединами сторон треугольника М₁М₂М₃, симметричны относительно биссектрис треугольника А₁В₁С₁ прямым, проходящим через А₁, В₁, С₁ и параллельным ОМ.

  Теорема. Тройка прямых, выходящих из вершин треугольника, пересекается в одной точке, расположенной на описанной окружности этого треугольника, тогда и только тогда, когда прямые, симметричные данным относительно биссектрис соответствующих углов, параллельны (см. рис.).

  Доказательство использует простой подсчет углов.

  Согласно этой теореме, тройка прямых в нашей задаче пересекается на описанной окружности треугольника А₁В₁С₁, то есть на окружности девяти точек исходного треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	18