ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65969
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга в точке C и прямой l в точках A и B. Прямая ВC пересекает вторую окружность в точке D.
Докажите, что угол BАD – прямой.


Решение

  Пусть общая внутренняя касательная к данным окружностям пересекает прямую АВ в точке M (см. рис.).

  Так как касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, то  МА = МС = МВ.  Значит, треугольник АВС – прямоугольный,
АСВ = 90°.  Поэтому смежный с ним угол ACD – также прямой, то есть AD – диаметр окружности. Следовательно,  DAAB.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .