Задача 65969

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Две окружности касаются друг друга в точке C и прямой l в точках A и B. Прямая ВC пересекает вторую окружность в точке D.
Докажите, что угол BАD – прямой.

Решение

  Пусть общая внутренняя касательная к данным окружностям пересекает прямую АВ в точке M (см. рис.).

  Так как касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, то  МА = МС = МВ.  Значит, треугольник АВС – прямоугольный,
∠АСВ = 90°.  Поэтому смежный с ним угол ACD – также прямой, то есть AD – диаметр окружности. Следовательно,  DA ⊥ AB.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5.2