|
|
 |
Условие
В правильном 21-угольнике шесть вершин покрашены в красный цвет, а семь вершин – в синий.
Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?
Решение
Рассмотрим повороты вокруг центра данного многоугольника на все углы вида 2πk/21, где k = 1, 2, ..., 20, по часовой стрелке. Тогда каждая синяя точка попадёт по одному разу в каждую из остальных вершин 21-угольника. Следовательно, каждая синяя точка по одному разу совпадёт с каждой красной точкой, то есть всего таких совпадений будет 6·7 = 42. Так как все такие совпадения приходятся на 20 ненулевых поворотов (в исходном положении совпадений нет), то по принципу Дирихле найдётся поворот, при котором будет не менее трёх совпадений. Значит, при этом повороте образом какого-то треугольника с синими вершинами является треугольник с красными вершинами. Следовательно, эти треугольники равны.
Ответ
Обязательно.
Замечания
9 баллов
