Версия для печати
Убрать все задачи

---

Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение  НОД(m + 2000n, n + 2000m)?

   Решение

---

Три фирмы А, В и С решили совместно построить дорогу длиной 16 км, договорившись финансировать этот проект поровну. В итоге, А построила 6 км дороги, В построила 10 км, а С внесла свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Каким образом фирмы А и В должны разделить эти деньги между собой?

   Решение

---

Прямая y = x+9 является касательной к графику функции y = x³-3x²+4x+8 . Найдите абсциссу точки касания.

   Решение

Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости проведено несколько прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Докажите, что в областях, на которые прямые поделили плоскость, можно расставить положительные числа так, чтобы суммы чисел по обе стороны каждой из проведённых прямых были равны.

Решение

  Обозначим проведённые прямые l₁, l₁, ..., l_n, упорядочив их направления по часовой стрелке (рассмотрим произвольную точку плоскости, проведём через неё прямые, параллельные нашим, занумеруем их по часовой стрелке, а потом присвоим нашим прямым те же номера, которые получили соответствующие им новые прямые).

  Среди областей, на которые наши прямые разрезали плоскость, есть 2n бесконечных кусков; обозначим их по часовой стрелке S₁, S₂, ..., S_2n так, что прямая l_i разделяет куски S_i и S_i+1, а также куски S_i+n и S_i+n+1 (мы считаем, что  S_2n+1 = S₁).
  Сначала во все области (конечные и бесконечные) поставим по 1. Для каждой прямой l_i обозначим через 2Σ_i разность сумм чисел слева и справа от l_i (мы считаем, что куски S_i и S_i+n+1 лежат слева от l_i). Если  Σ_i > 0,  то прибавим по Σ_i к числам, стоящих в S_i+1 и S_i+n. При этом все числа Σ_j при  j ≠ i  не изменились, поскольку области S_i и S_i+n+1 лежат по разные стороны относительно каждой прямой, кроме l_i. Число же Σ_i стало равно нулю. Если  Σ_i < 0,  то вычтем Σ_i из чисел, стоящих в S_i и S_i+n+1; при этом Σ_i станет равна 0, а остальные Σ_j не изменятся.
  Такими операциями мы последовательно сделаем каждое Σ_i равным нулю, не меняя остальных.

Источники и прецеденты использования