|
|
 |
Условие
Пусть a – положительный корень уравнения x2017 – x – 1 = 0, а b – положительный корень уравнения y4034 – y = 3a.
а) Сравните a и b.
б) Найдите десятый знак после запятой числа |a – b|.
Решение
Пусть n = 2017.
а) Заметим, что b > 1, так как b2n – b = 3a > 0. Аналогично a > 1. Следовательно, 1 + a + a² > 3a, так как это неравенство равносильно неравенству (1 – a)² > 0. Значит, a2n – a = 1 + a + a² > 3a = b2n – b. Поскольку функция f(t) = t2n – t строго возрастает при t > 1 (при этих t
f'(t) = 2nt2n–1 – 1 > 0), то a > b.
б) Согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899) (1 + 1/n–1)n – 1 – 1/n–1 > n/n–1 – 1/n–1 = 1 , а an – a = 1. В силу возрастания при t > 1 функции g(t) = tn – t справедливо неравенство a < 1 + 1/n–1.
Вычитая из равенства a2n – a = 1 + a + a² равенство b2n – b = 3a, получим a2n – b2n – (a – b) = (1 – a)2 < 1/(n–1)².
Поскольку a2n – b2n = (a – b)(a2n–1 + a2n–2b + ... + ab2n–2 + b2n–1) > 2n(a – b), то (2n – 1)(a – b) ≤ a2n – b2n – (a – b) < 1/(n–1)². Таким образом, а значит, первые 10 знаков после запятой разности a – b равны нулю.
Ответ
а) a > b; б) 0.
