ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66177
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.


Решение

  Пусть K, L, M и N – точки касания сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD с вписанной окружностью, O1, O2, O3 и O4 – середины дуг KL, LM, MN и NK. Углы LKO1 и BKO1 равны (они измеряются половинами равных дуг LO1 и KO1), поэтому KO1 – биссектриса угла BKL. Аналогично LO1 – биссектриса угла BLK, значит, O1 – центр вписанной окружности треугольника BKL. Точно так же O2, O3 и O4 – центры вписанных окружностей треугольников CLM, DMN и AKN.
  Пусть диагонали четырёхугольника O1O2O3O4 пересекаются в точке P. Угол O1PO2 измеряется полусуммой дуг O1O2 и O3O4, то есть половиной окружности. Следовательно, он прямой.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5711
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .