Задача 66214

Темы:    [ Системы точек ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Толесников А.

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

Решение

  Рассмотрим наименьшую из окружностей ω. Пусть она описана вокруг треугольника ABC, а O – её центр. Если треугольник ABC не равносторонний, то какой-то из его углов, например угол C, меньше 60°. Но тогда  ∠C < ∠AOB < 120°,  то есть  sin∠AOB > sin∠C.  По теореме синусов радиус описанной окружности треугольника AOB меньше радиуса ω. Противоречие.

  Если же треугольник ABC правильный, то вместе с точками A, B, C, O отмеченными будут центры A', B', C' описанных окружностей треугольников BOC, COA, AOB. Но, например, треугольник AOB' правильный, причём его сторона меньше AB, а значит, радиус описанной окружности меньше, чем у ω.

Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	11