ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66218
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольный треугольник ABC вписана окружность с центром I, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. В четырёхугольники ADIF и BDIE вписаны окружности с центрами J1 и J2 соответственно. Прямые J1J2 и AB пересекаются в точке M. Докажите. что  CDIM.


Решение

Так как DJ1 – биссектриса треугольника DIA, то  AJ1 : J1I = AD : ID.  Аналогично  IJ2 : J2B = DI : DB.  По теореме Менелая
AF
/FC·CE/EB·BM/MA = AD/DB·BM/MA = AJ1/J1I·IJ2/J2B·BM/MA = 1,  то есть точка M лежит на прямой FE (см. рис.). Поскольку C и D – полюсы прямых EF и AB относительно вписанной окружности, то M – полюс прямой CD, следовательно,  CDIM.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
тур
задача
Номер 15

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .