ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66220
Темы:    [ Треугольник (построения) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Метод ГМТ ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Тригуб А.

Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что  ∠KBA = 2∠KAB  и  ∠KBC = 2∠KCB.


Решение

  Пусть окружность ω с центром K и радиусом KB пересекает AB и BC в точках P и Q соответственно, а T – середина дуги ABC описанной окружности. Тогда   ∠KPB = ∠KBP = 2∠KAP,  следовательно,  ∠KAP = ∠PKA  и  AP = PK = KB.  Аналогично  CQ = QK = KB.  Поскольку
AP = CQ,  AT = CT  и  ∠PAT = ∠QCT,  треугольники TAP и TCQ равны, то есть  ∠TPB = ∠TQB  и точка T лежит на ω. Значит, центр K этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к BT. Кроме того, из условия следует, что  ∠AKC = 3∠B/2,  то есть K лежит на соответствующей дуге (см. рис.).

  Докажем, что построенная таким образом точка K удовлетворяет условию. Поскольку в этом случае окружность ω проходит через точку T, то
PTQ = ∠PBQ = ∠B = ∠ATB.  Следовательно,  ∠ATP = ∠CTQ,  и треугольники ATP и CTQ равны по стороне и двум углам. Значит,  AP = CQ.
  Если, например,  AP > PK = KB,  то  ∠PKA > ∠PAK,  ∠KPB > ∠KPB > 2∠BAK,  ∠KBC > 2∠KCB  и  ∠AKC < 3∠B/2,  что противоречит построению точки K.

  Аналогично при  AP < PK  получаем  ∠AKC > 3∠B/2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2017
тур
задача
Номер 17

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .