В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n² так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?

   Решение

По окружности $\Omega$ движется точка $P$. На окружности $\Omega$ зафиксированы точки $A$ и $B$. Точка $C$ – произвольная точка внутри круга с границей $\Omega$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $APC$ и $BCP$, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что все точки $Q$ лежат на двух фиксированных прямых.

   Решение

Дан треугольник ABC,  O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO.  Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Симсона ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC,  O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO.  Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

Решение

Из условия следует, что точки D и X лежат на описанной окружности треугольника ABC, а прямые l и L являются их прямыми Симсона. Проведём хорды CC', DD' и XX', параллельные AB. Согласно задаче 56945 прямая l, а значит, и радиус OX перпендикулярны CD', а  L ⊥ CX'.  Поэтому утверждение задачи равносильно равенству дуг X'D и XC. Но  ⌣X'D = ⌣XD' = ⌣XС.

Источники и прецеденты использования