|
|
 |
Условие
Даны окружность и лежащий внутри неё эллипс с фокусом C.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников ABC, где AB – хорда окружности, касающаяся эллипса.
Решение
Пусть CH – высота треугольника ABC. Тогда H лежит на окружности, диаметром которой является большая ось эллипса (см. решение задачи 58479 а). Обозначим центр и радиус данной окружности через O и R, а центр описанной окружности треугольника ABC через O'. Применяя теорему косинусов к треугольникам AO'O и CO'O, получаем R² = O'A² + O'O² – 2O'A·O'O cos∠AO'O, OC² = O'C² + O'O² – 2O'C·O'O cos∠CO'O. Поскольку O'O || CH и O'A = O'C, то, вычитая из первого равенства второе, получаем R² – OC² = 2O'O·CH.
Пусть H' – образ точки H при переносе на вектор CO. Тогда точки O, H' и O' лежат на серединном перпендикуляре к хорде AB и произведение OH'·OO' = ½ (R² – OC²) не зависит от выбора хорды AB. Следовательно, точки O' и H' инверсны относительно окружности, концентричной данной. Поскольку геометрическим местом точек H' является окружность, искомое ГМТ также будет окружностью.
